勾股定理的所有证明方法共有多少个，是哪些？
创始人
2025-07-17 09:01:47
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勾股定理的所有证明方法共有多少个，是哪些？要详细的，高分。一一列举出来。
最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长玫秸 叫蜛BDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a）2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2 亦即： c=（a2+b2）(1/2)
设三角形 abc 对角为ABC 然后再设 向量a向量b都是以点C为起点的向量 so 向量a-向量b=向量c 同时平方 |c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a|*|b|*cosC 【a b c均为向量】 so c^2=a^2+b^2-2abcosC 就证明了余弦定理 然后在直角三角形中 C=90° so cosC=1 so c^2=a^2+b^2 RtABC,C为直角，斜边为c,角A的对边为a,角B的对边为b 1 正余弦定理 a=cCOSA b=cSINA a^2+b^2=c^2(COSA^2+SINA^2)=c^2 成立 2作C点作c边的垂线，交AB于D 由相似三角形得 a^2=c*BD b^2=c*AD 因为AD+BD=c a^2+b^2=c(BD+AD)=c^2 成立 3 余弦定理 c^2=a^2+b^2-2abCOSC=a^2+b^2 成立 4取AB上的中点D，连接CD，CD=AD=DB=1/2c 由余弦定理 a^2=(1/2c)^2+(1/2c)^2-2*1/2c*1/2c*COS2A=1/2c^2-1/2c^2*COS2A b^2=(1/2c)^2+(1/2c)^2-2*1/2c*1/2c*COS2B=1/2c^2-1/2c^2*COS2B A+B=90 2A+2B=180 COS2A=-COS2B a^2+b^2=1/2c^2-1/2c^2*COS2A+1/2c^2-1/2c^2*COS2B=c^2 成立
最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长玫秸 叫蜛BDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a）2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2 亦即： c=（a2+b2）(1/2)
设三角形 abc 对角为ABC 然后再设 向量a向量b都是以点C为起点的向量 so 向量a-向量b=向量c 同时平方 |c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a|*|b|*cosC 【a b c均为向量】 so c^2=a^2+b^2-2abcosC 就证明了余弦定理 然后在直角三角形中 C=90° so cosC=1 so c^2=a^2+b^2 RtABC,C为直角，斜边为c,角A的对边为a,角B的对边为b 1 正余弦定理 a=cCOSA b=cSINA a^2+b^2=c^2(COSA^2+SINA^2)=c^2 成立 2作C点作c边的垂线，交AB于D 由相似三角形得 a^2=c*BD b^2=c*AD 因为AD+BD=c a^2+b^2=c(BD+AD)=c^2 成立 3 余弦定理 c^2=a^2+b^2-2abCOSC=a^2+b^2 成立 4取AB上的中点D，连接CD，CD=AD=DB=1/2c 由余弦定理 a^2=(1/2c)^2+(1/2c)^2-2*1/2c*1/2c*COS2A=1/2c^2-1/2c^2*COS2A b^2=(1/2c)^2+(1/2c)^2-2*1/2c*1/2c*COS2B=1/2c^2-1/2c^2*COS2B A+B=90 2A+2B=180 COS2A=-COS2B a^2+b^2=1/2c^2-1/2c^2*COS2A+1/2c^2-1/2c^2*COS2B=c^2 成立
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