证明拉格朗日中值定理
创始人
2025-07-06 21:04:41
0次
证明拉格朗日中值定理算出来F(a)＝F(b)之后用罗尔定理得出F’(§)＝0，怎么就证明完毕了？请讲解一下
证明如下：如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)
好，一下就数形结合的方法分析一下证明思路，（你最好画画图形哦）
拉格朗日中值定理是由洛尔定理推出来的，看看他们的条件和结论的相同和不同之处就可以找到他们的联系，从而找到证明思路
除了连续和可导的条件之外，
洛尔定理说的是
如果有
f(a)=f(b),
则必有点c,
a
f
′(c)=0
拉格朗日定理没有 f(a)=f(b)
的条件，结论是 必有点c,
a
f ′(c)=[f(b)-f(a）]/(b-a)
一比较，可以看出
如果
f(b)=f(a),
拉格朗日定理的结论就是洛尔定理
再看看几何意义，洛尔定理说的是条件成立时，在
f(x)的
曲线上必有一点切线平行于x轴
拉格朗日定理说的是条件成立时，f(x)
的曲线上必有一点其切线平行于连接两个端点的弦
由此作一个函数
F(x)
使他等于函数值
f(x)与
弦的纵坐标的差，那么在两个端点处，F(a)=Fb)=0,由这个思路就可以设计一个辅助函数
F(x)=f(x)-{f(a)+(x-a)[f(b)-f(a)]/(b-a)]
(*)
其中{
}内的式子就是连接曲线
f（x）上端点
A（a，f(a)），
B（b，f(b)）的弦所在直线上的点的纵坐标
y=f(a)+[f(b)-f(a)]/(x-a)
（想想，这不就是弦的点斜式吗？）
(*)
中的
辅助函数
F（x）显然满足洛尔定理的条件：除了连续与可导的条件外，有F(b)=F(a)=0,
所以有c
a
F′(c)=0,
即
f ′(c)=（f(b)-f(a））/(b-a）
明白了辅助函数
（*）是怎么想到的吧？
搞清楚了拉格朗日定理证明中辅助函数的设计思路，其实你可以设计出一系列类似的辅助函数，甚至比书上的辅助函数更简单的函数，同样可以证明这个定理
试试吧，祝你成功
设f(x)=x/(1+x)，x>0.则f(x)是个连续函数，满足拉格朗日中值定理的两个条件。
有:f(x+y)-f(x)=f'(ζ)*[(x+y)-x]=y*f'(ζ)
f'(ζ)=1/[(ζ+1)^2]
因为x<ζ
证明如下：
如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1) 上式给出了自变量取得的有限增量△x时,函数增量△y的准确表达式,因此本定理也叫有限增量定理.
定理内容
若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:
(1)在[a,b]连续
(2)在(a,b)可导
则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
证明:
把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.
做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a).
易证明此函数在该区间满足条件:
1.G(a)=G(b);
2.G(x)在[a,b]连续;
3.G(x)在(a,b)可导.
此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证
几何意义
若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.
证明如下：如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)
好，一下就数形结合的方法分析一下证明思路，（你最好画画图形哦）
拉格朗日中值定理是由洛尔定理推出来的，看看他们的条件和结论的相同和不同之处就可以找到他们的联系，从而找到证明思路
除了连续和可导的条件之外，
洛尔定理说的是
如果有
f(a)=f(b),
则必有点c,
a
f
′(c)=0
拉格朗日定理没有 f(a)=f(b)
的条件，结论是 必有点c,
a
f ′(c)=[f(b)-f(a）]/(b-a)
一比较，可以看出
如果
f(b)=f(a),
拉格朗日定理的结论就是洛尔定理
再看看几何意义，洛尔定理说的是条件成立时，在
f(x)的
曲线上必有一点切线平行于x轴
拉格朗日定理说的是条件成立时，f(x)
的曲线上必有一点其切线平行于连接两个端点的弦
由此作一个函数
F(x)
使他等于函数值
f(x)与
弦的纵坐标的差，那么在两个端点处，F(a)=Fb)=0,由这个思路就可以设计一个辅助函数
F(x)=f(x)-{f(a)+(x-a)[f(b)-f(a)]/(b-a)]
(*)
其中{
}内的式子就是连接曲线
f（x）上端点
A（a，f(a)），
B（b，f(b)）的弦所在直线上的点的纵坐标
y=f(a)+[f(b)-f(a)]/(x-a)
（想想，这不就是弦的点斜式吗？）
(*)
中的
辅助函数
F（x）显然满足洛尔定理的条件：除了连续与可导的条件外，有F(b)=F(a)=0,
所以有c
a
F′(c)=0,
即
f ′(c)=（f(b)-f(a））/(b-a）
明白了辅助函数
（*）是怎么想到的吧？
搞清楚了拉格朗日定理证明中辅助函数的设计思路，其实你可以设计出一系列类似的辅助函数，甚至比书上的辅助函数更简单的函数，同样可以证明这个定理
试试吧，祝你成功
设f(x)=x/(1+x)，x>0.则f(x)是个连续函数，满足拉格朗日中值定理的两个条件。
有:f(x+y)-f(x)=f'(ζ)*[(x+y)-x]=y*f'(ζ)
f'(ζ)=1/[(ζ+1)^2]
因为x<ζ
相关内容
热门资讯
韩国计划本世纪30年代中期建成...
新华社首尔5月26日电 (记者黄莹莹)韩国国防部长官安圭伯26日表示，韩国计划本世纪30年代中期建成...
美国贸易代表终于知道，“我们改...
【文/观察者网 齐倩】 据路透社和彭博社消息，当地时间5月26日，美国贸易代表格里尔在美智库外交关...
受害者多为中国女性！德国华人迷...
5月的柏林法院出现了少见一幕：大批华人排队等候进入庭审旁听席，其中不少女性专程从外地赶来。大家关注的...
国台办：民进党当局罔顾民众福祉...
5月27日上午，国台办在新闻发布厅举行例行新闻发布会，发言人陈斌华就近期两岸热点问题回答记者提问。 ...
SpaceX创纪录IPO前夕“...
智通财经获悉，在SpaceX备受瞩目的巨型IPO即将登场之际，全球指数巨头与美国军事部门同日释放重磅...
赢下天王山！亚历山大狂砍32分...
北京时间5月27日，NBA季后赛主场对阵的比赛已经结束。全场战罢，雷霆以（3）127-114（2）战...
“五个女博士”，被投诉
据南方日报5月26日报道，618大促临近，口服美容、保健食品等品类竞争激烈。在某电商平台医药保健类品...
一份协议如何让双方“宣布胜利”...
美伊核谈判在军事摩擦与内部政治压力的双重夹击下进入最后冲刺阶段，双方各怀目标，协议前景仍存变数。 据...
伊朗称美在谈判期间破坏停火 对...
伊朗称美在谈判期间破坏停火 对美国极不信任 新华社德黑兰5月26日电 伊朗外交部26日发表声明，强...
“在美国等绿卡”不再可行？美国...
“这个周末我接了好几个身边朋友的电话，都对这个政策非常担心。它的打击面非常广。”美国陆律师事务所（L...
金正恩观摩新型武器系统试验，“...
董海涛/央视新闻 当地时间5月26日，朝鲜导弹总局和国防科学院进行轻型多用途导弹发射系统和多管战术巡...
视频丨将停火与“亚伯拉罕协议”...
美国总统特朗普25日在社交媒体发帖，呼吁参与斡旋美伊谈判的沙特、卡塔尔、埃及、约旦、土耳其和巴基斯坦...
电动自行车违规充电 占用疏散通...
电动自行车违规充电 占用疏散通道被处罚 5月25日，记者从成都市消防救援局获悉，近期，成都多地持续...
美军大举开进加拉加斯
文︱陆弃 2026年5月23日，加拉加斯上空再次出现了美国军机的轰鸣声。不同于以往那些发生在边境、海...
消息人士：解冻伊朗海外资金成伊...
新华社德黑兰5月26日电 据伊朗法尔斯通讯社26日报道，一名接近伊朗谈判团队的消息人士表示，目前伊美...
拉夫罗夫给鲁比奥打电话，要求美...
据央视新闻援引俄罗斯方面当地时间5月26日消息，俄副外长里亚布科夫表示，俄外长拉夫罗夫5月25日与美...
原创 俄...
当前俄乌冲突持续拉锯，战场态势与外交博弈相互交织，区域紧张氛围不断升温。近期俄罗斯外长拉夫罗夫与美国...
塞尔维亚总统夫人在北京体验“中...
中新社北京5月26日电 (记者 吕少威 )“太美了！”“我真的很喜欢这件衣服！”26日，塞尔维亚总统...
美伊谈判紧要关头，以色列越线突...
目前美国和伊朗的谈判仍在继续。消息显示，本次谈判旨在达成更广泛的安全、经济和地缘政治共识。有迹象表明...
40度烈日之下，鲁比奥的印度“...
从加尔各答的仁爱传教会总部，到阿格拉的泰姬陵，再到斋浦尔的琥珀堡……在40度的高温下，美国国务卿鲁比...